Resolvendo 100x + 150x² < 0: Guia Completo E Simples

Fala, galera! Sejam muito bem-vindos ao nosso guia definitivo sobre como desvendar inequações de uma vez por todas! Hoje, vamos mergulhar de cabeça em um problema que tira o sono de muita gente, mas que, com as dicas certas, vai parecer fichinha: a inequação 100x + 150x² < 0. Vocês já se depararam com um problema assim e ficaram se perguntando “qual é a solução dessa inequação?” ou “como eu encontro os intervalos de solução?” Pois bem, seus problemas acabaram! Preparem-se para entender cada passo, desde a simplificação inicial até a análise final dos sinais, tudo de um jeito super claro e conversacional. Nosso objetivo aqui é que, ao final deste artigo, vocês não apenas saibam resolver essa inequação específica, mas também tenham as ferramentas e a confiança para tacklear qualquer outra inequação quadrática que apareça no caminho. A matemática não precisa ser um bicho de sete cabeças, e com foco nos conceitos chave, na simplificação inteligente e na análise de sinais, vocês verão que é possível dominar essa área. Fiquem ligados, porque vamos mostrar a justificativa detalhada de cada escolha e explicar o passo a passo para garantir que não reste nenhuma dúvida. Vamos otimizar a forma de pensar sobre inequações e construir um conhecimento sólido que vai muito além de apenas marcar a alternativa correta.

Desvendando a Inequação: 100x + 150x² < 0 – Um Guia Completo!

Então, pessoal, vamos começar nossa jornada desvendando a inequação 100x + 150x² < 0. Para muitos, a primeira vista pode parecer um emaranhado de números e letras, mas prometo que é mais simples do que parece. Uma inequação, diferente de uma equação que busca um valor exato para a variável, busca um intervalo de valores que satisfaçam uma certa condição. No nosso caso, queremos descobrir para quais valores de x a expressão 100x + 150x² resulta em um número menor que zero, ou seja, um número negativo. É crucial entender essa distinção desde o início, pois ela guia todo o nosso processo de resolução. A importância das inequações vai muito além da sala de aula; elas são fundamentais em diversas áreas, desde a engenharia (para determinar limites de segurança) até a economia (para otimizar lucros ou minimizar custos). Por exemplo, ao projetar uma ponte, engenheiros usam inequações para garantir que a carga máxima suportada seja maior que a carga esperada. Em finanças, uma empresa pode usar inequações para determinar a faixa de produção que garante um lucro positivo. Por isso, dominar essa habilidade é mais do que apenas resolver um exercício de matemática, é desenvolver um raciocínio lógico aplicável a muitos desafios do dia a dia. Para começar, vamos focar em deixar nossa inequação mais “amigável”, simplificando-a e reorganizando seus termos, que são passos cruciais para evitar dores de cabeça mais tarde. Lembrem-se, a matemática é como construir uma casa: a fundação precisa ser sólida! E a base aqui é a capacidade de identificar e manipular expressões algébricas de forma eficiente. Manter a calma e seguir o roteiro é a chave do sucesso, e é exatamente isso que vamos fazer juntos, passo a passo, para garantir que vocês compreendam cada detalhe da resolução dessa inequação tão importante. Essa é a base para construir um entendimento robusto e duradouro sobre o tema, garantindo que a resposta não seja apenas um "achismo", mas sim uma conclusão lógica e bem fundamentada.

O Primeiro Passo: Simplificando e Fatorando a Inequação Quadrática

Nosso primeiro e importantíssimo passo para resolver 100x + 150x² < 0 é a simplificação e fatoração. Vocês podem estar se perguntando: "Por que fatorar, professor?" A resposta é simples, meus amigos: fatorar nos ajuda a encontrar os pontos críticos de forma mais eficiente e, principalmente, a analisar os sinais da expressão em diferentes intervalos. Uma inequação quadrática é qualquer inequação que envolve um termo com x². No nosso caso, temos 150x², que já nos diz que estamos lidando com uma função quadrática, e sua representação gráfica é uma parábola. Antes de mais nada, vamos reorganizar a expressão para ficar no formato padrão ax² + bx + c, mesmo que nosso c seja zero aqui. Então, 150x² + 100x < 0. Agora, reparem nos dois termos: 150x² e 100x. Ambos possuem fatores em comum! Queremos encontrar o Maior Fator Comum (MFC) entre eles. Vamos analisar os coeficientes (150 e 100) e as variáveis (x² e x).

Para os coeficientes: 150 e 100. Ambos são divisíveis por 10, por 50. O maior divisor comum entre 150 e 100 é 50. Para as variáveis: x² e x. O menor expoente de x que aparece em ambos os termos é x (ou x¹). Portanto, o fator comum que podemos "tirar" da expressão é 50x. Entender como identificar esses fatores comuns é uma habilidade de ouro na matemática, porque transforma problemas complexos em algo muito mais gerenciável. É como separar as peças de um quebra-cabeça antes de montá-lo; fica muito mais fácil ver como as coisas se encaixam. A fatoração é uma técnica fundamental que nos permite reescrever a expressão como um produto de fatores. No contexto de inequações, isso é poderosíssimo, porque sabemos que o sinal de um produto depende dos sinais de seus fatores. Se tivermos A * B < 0, sabemos que A e B devem ter sinais opostos. Isso simplifica enormemente a nossa análise! Então, vamos aplicar a fatoração: 150x² + 100x = 50x(3x + 2). Viram só? A inequação original 100x + 150x² < 0 se transformou em 50x(3x + 2) < 0. Essa nova forma é muito mais fácil de trabalhar, pois agora temos um produto de dois fatores (50x e 3x + 2) e estamos interessados em quando esse produto é negativo. Essa etapa de simplificação cuidadosa é onde muitos tropeçam ao tentar pular etapas, mas é exatamente ela que garante uma resolução limpa e correta. Lembrem-se, galera, tempo investido na base é tempo ganho na frente. Não subestimem o poder da fatoração!

Encontrando as Raízes: Os Pontos Críticos da Nossa Inequação

Agora que a nossa inequação está bonitinha e fatorada como 50x(3x + 2) < 0, o próximo passo essencial é encontrar as raízes, também conhecidas como pontos críticos. Esses pontos são de extrema importância, pois são exatamente os valores de x onde cada um dos fatores da nossa expressão se torna igual a zero. E por que isso é tão importante, vocês perguntam? Simples! São nesses pontos que o sinal da expressão pode mudar. Pensem neles como as fronteiras em um mapa: de um lado da fronteira, a "paisagem" (o sinal da expressão) pode ser de um jeito; do outro lado, pode ser de outro. A compreensão do papel dos pontos críticos é central para qualquer análise de sinais de inequações. Se pularem essa etapa ou a fizerem de forma incorreta, todo o resto da resolução estará comprometido. É o equivalente a construir uma casa sem verificar a fundação! Para encontrar esses pontos, a gente simplesmente iguala cada fator a zero, porque é o momento em que a função "cruza" o eixo x ou toca nele, mudando seu comportamento de positivo para negativo, ou vice-versa. Essa é a essência da resolução quando se lida com produtos de termos.

Vamos aos nossos fatores:

1. Primeiro fator: 50x

   • Para encontrar a raiz, igualamos a zero: 50x = 0.
   • Dividindo ambos os lados por 50, obtemos: x = 0 / 50.
   • Portanto, a primeira raiz é x = 0.

2. Segundo fator: 3x + 2

   • Para encontrar a raiz, igualamos a zero: 3x + 2 = 0.
   • Subtraímos 2 de ambos os lados: 3x = -2.
   • Dividimos ambos os lados por 3: x = -2/3.
   • Portanto, a segunda raiz é x = -2/3.

Esses dois valores, x = 0 e x = -2/3, são os nossos pontos críticos. Eles dividem a reta numérica em três intervalos distintos, e é dentro desses intervalos que a expressão 50x(3x + 2) manterá um sinal constante (positivo ou negativo). A técnica de encontrar as raízes é um dos pilares da resolução de equações e inequações e entender o porquê de cada passo é o que solidifica o aprendizado. Lembrem-se que, no contexto de uma parábola (que é a representação gráfica da nossa inequação quadrática), essas raízes são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Como a inequação original é 150x² + 100x < 0 e o coeficiente de x² (que é 150) é positivo, sabemos que a parábola "abre para cima". Isso significa que a parte da parábola que está abaixo do eixo x (onde a função é negativa) estará entre as raízes. Essa conexão entre a álgebra e o gráfico é poderosa e ajuda a visualizar o problema, confirmando nossos resultados. Ter esses pontos críticos bem definidos é crucial para o próximo passo, que é a análise de sinais. Sem eles, não teríamos onde começar nossa investigação para descobrir onde a nossa expressão é, de fato, negativa. Vamos em frente, que o próximo passo é onde a mágica realmente acontece!

A Análise de Sinais: O Coração da Resolução de Inequações

Chegamos à parte mais legal e, talvez, a mais crucial da resolução da nossa inequação 50x(3x + 2) < 0: a análise de sinais. É aqui que a gente pega os pontos críticos que encontramos (x = 0 e x = -2/3) e os usa para mapear o comportamento da nossa expressão. Pensem nisso como um detetive que está montando um quebra-cabeça, e cada pedaço nos revela uma pista sobre onde a nossa condição (menor que zero) é satisfeita. Essa metodologia é frequentemente chamada de "varal de sinais" ou "método dos intervalos" e é uma ferramenta poderosíssima para visualizar a solução. Não tentem adivinhar, galera! Uma análise sistemática dos sinais de cada fator em cada intervalo é o que vai garantir que a resposta final seja 100% correta. Lembrem-se que queremos o produto 50x(3x + 2) sendo negativo, o que significa que um fator deve ser positivo e o outro negativo. Essa é a lógica por trás da regra de sinais de multiplicação: mais vezes menos dá menos, e menos vezes mais também dá menos. Se ambos forem positivos ou ambos negativos, o produto será positivo. Compreender isso é o alicerce para interpretar corretamente os resultados dos nossos testes de intervalo.

Construindo o Quadro de Sinais (Varal de Sinais)

O primeiro passo prático na análise de sinais é construir o nosso quadro ou varal de sinais. Imaginem uma reta numérica infinita. Nela, vamos marcar os nossos pontos críticos que são -2/3 (aproximadamente -0,67) e 0. É importante colocá-los na ordem crescente, da esquerda para a direita. Esses pontos dividem a reta numérica em três intervalos distintos, e é nesses intervalos que vamos testar os sinais da nossa expressão. Vejam como fica:

• Intervalo 1: x < -2/3 (tudo à esquerda de -2/3)
• Intervalo 2: -2/3 < x < 0 (tudo entre -2/3 e 0)
• Intervalo 3: x > 0 (tudo à direita de 0)

Para cada fator (50x e 3x + 2), vamos determinar seu sinal em cada um desses intervalos. A beleza do método é que, dentro de cada intervalo, o sinal de cada fator não muda. É por isso que podemos escolher qualquer número dentro de um intervalo para testar! Isso economiza um tempão e garante a precisão. Desenhar essa reta e marcar os pontos é uma dica de ouro para organizar o raciocínio e evitar confusão. Uma boa representação visual facilita muito a compreensão e a verificação dos resultados. Se a gente visualiza o problema, a chance de erro diminui drasticamente, e a confiança na resposta aumenta, porque vocês verão com seus próprios olhos o porquê de cada sinal. Portanto, não subestimem o poder de um bom "varal" ou "quadro de sinais" bem desenhado e compreendido.

Testando os Intervalos para Descobrir a Solução

Agora vem a parte prática de testar os intervalos! Vamos escolher um valor "fácil" dentro de cada intervalo e substituir na nossa expressão fatorada 50x(3x + 2). Não esqueçam que o que nos importa é o sinal final do produto.

• Intervalo 1: x < -2/3 (por exemplo, vamos testar x = -1)

  • Fator 50x: 50 * (-1) = -50 (Negativo)
  • Fator 3x + 2: 3 * (-1) + 2 = -3 + 2 = -1 (Negativo)
  • Produto 50x(3x + 2): (Negativo) * (Negativo) = Positivo. Portanto, nesse intervalo, a expressão é > 0.

• Intervalo 2: -2/3 < x < 0 (por exemplo, vamos testar x = -0.5)

  • Fator 50x: 50 * (-0.5) = -25 (Negativo)
  • Fator 3x + 2: 3 * (-0.5) + 2 = -1.5 + 2 = 0.5 (Positivo)
  • Produto 50x(3x + 2): (Negativo) * (Positivo) = Negativo. Portanto, nesse intervalo, a expressão é < 0.

• Intervalo 3: x > 0 (por exemplo, vamos testar x = 1)

  • Fator 50x: 50 * (1) = 50 (Positivo)
  • Fator 3x + 2: 3 * (1) + 2 = 3 + 2 = 5 (Positivo)
  • Produto 50x(3x + 2): (Positivo) * (Positivo) = Positivo. Portanto, nesse intervalo, a expressão é > 0.

Pronto! Com essa análise meticulosa, temos os sinais da nossa expressão em cada pedacinho da reta numérica. O que estamos procurando é onde a expressão é menor que zero (< 0), ou seja, onde ela é negativa. Pelo nosso teste, isso acontece apenas no Intervalo 2. Essa verificação ponto a ponto é a garantia de que não estamos deixando nenhuma possibilidade de lado e que a nossa conclusão será irrefutável. Lembrem-se, a precisão na matemática é tudo! Por isso, cada cálculo e cada sinal devem ser conferidos com atenção. Se vocês tivessem pulado essa etapa, a chance de errar a solução final seria enorme, pois a intuição pode nos enganar quando se trata de sinais negativos e positivos. É a evidência concreta obtida por meio desses testes que nos dá a certeza da resposta, sem margem para dúvidas ou suposições. A análise de sinais é, sem dúvida, o coração da resolução de inequações e dominá-la é um passo gigante no aprendizado da álgebra. E agora, vamos para a cereja do bolo, que é a solução final.

A Solução Final: Unindo os Pontos e Respondendo à Pergunta!

Então, meus caros estudantes de matemática, depois de toda essa jornada de simplificação, fatoração e análise de sinais, chegamos ao ponto culminante: a solução final da nossa inequação 100x + 150x² < 0. Como vimos na seção anterior, a expressão 50x(3x + 2) é negativa (ou seja, < 0) apenas no intervalo onde -2/3 < x < 0. Esse é o nosso ouro! Essa é a faixa de valores para x que satisfaz a condição original da inequação. É importantíssimo conectar esses resultados de volta à pergunta inicial: "Qual é a solução da inequação 100x + 150x² < 0?" A resposta é exatamente o intervalo que identificamos! A justificativa para essa resposta reside em toda a metodologia que aplicamos: a fatoração nos permitiu trabalhar com um produto de termos mais simples, os pontos críticos nos deram as fronteiras dos intervalos, e a análise de sinais nos revelou onde a expressão se comportava como queríamos (negativamente). Cada passo construiu a base para esta conclusão.

Uma observação crucial aqui é o símbolo de desigualdade: < 0 (menor que zero). Se a inequação fosse <= 0 (menor ou igual a zero), então os pontos críticos -2/3 e 0 seriam incluídos na solução, e usaríamos colchetes fechados ou bolinhas fechadas no gráfico, e o símbolo de "menor ou igual" na notação. No nosso caso, como é estritamente menor que zero, os pontos onde a expressão é exatamente zero (ou seja, as raízes) não fazem parte da solução. É por isso que a notação usa colchetes abertos ou parênteses, indicando que os extremos do intervalo não estão incluídos. Isso mostra a precisão da notação matemática e a necessidade de atenção aos detalhes. É como um semáforo: "vermelho" é estritamente parar, "amarelo" é atenção, e "verde" é seguir. Aqui, o "menor que zero" é uma regra bem definida.

Considerando as alternativas apresentadas originalmente:

• a) x < -2/3
• b) -2/3 < x < 0
• c) x > 0
• d) x = 0

Nossa análise de sinais confirmou que a alternativa b) -2/3 < x < 0 é a resposta correta. É fascinante ver como, seguindo um método lógico e bem estruturado, chegamos a uma conclusão inequívoca. Essa é a beleza da matemática, pessoal! Não é mágica, é lógica pura. Dominar a resolução de inequações quadráticas como essa abre portas para entender conceitos mais avançados e aplicar esse conhecimento em diversas situações práticas. O importante é não apenas memorizar a resposta, mas entender o caminho que nos levou até ela, e o porquê de cada etapa. Essa compreensão profunda é o que realmente faz a diferença e transforma a resolução de problemas em uma experiência recompensadora, em vez de um mero exercício de decorar fórmulas.

Dicas Bônus e Erros Comuns ao Resolver Inequações

Parabéns por chegarem até aqui, galera! Resolver inequações pode ser um desafio, mas com as estratégias certas e a atenção aos detalhes, vocês se tornam mestres. Para solidificar ainda mais o conhecimento e evitar armadilhas comuns, separei algumas dicas bônus e erros frequentes que vejo por aí. Ficar atento a esses pontos é como ter um "cheat sheet" para garantir que suas resoluções sejam sempre precisas. Afinal, a gente quer alta qualidade e valor em cada problema que a gente resolve, certo?

Atenção aos Sinais!

Este é crucial e um dos erros mais comuns: ao multiplicar ou dividir ambos os lados de uma inequação por um número negativo, vocês DEVERÃO inverter o sentido da desigualdade. Por exemplo, se tivermos -2x < 4, ao dividir por -2, a inequação se torna x > -2. Se esquecerem de inverter o sinal, a solução estará completamente errada. Essa regra é absolutamente fundamental e exige vigilância constante, especialmente quando se manipulam termos com variáveis negativas. É como dirigir: se você vira o volante para a direita mas espera que o carro vá para a esquerda, o resultado não será nada bom! A inversão do sinal é uma característica distintiva das inequações em comparação com as equações, e é o que mais pega a galera desprevenida. Pensem nisso como uma "lei" da matemática que não pode ser quebrada. Estar ciente dessa regra e aplicá-la corretamente é um dos segredos para o sucesso na resolução de qualquer inequação, seja ela linear, quadrática ou de ordem superior. É uma daquelas "pegadinhas" clássicas que aparecem em provas e concursos, então, mantenham os olhos bem abertos!

Não Divida por Variáveis!

Outro erro que a galera adora cometer é dividir a inequação por uma variável (tipo x) sem critério. Por exemplo, na nossa inequação 100x + 150x² < 0, seria um erro grave tentar dividir tudo por x logo no começo. Por quê? Bem, há dois problemas principais:

1. Perda de Raízes: Se x puder ser zero, ao dividir por x, vocês perderiam a informação de que x=0 é um ponto crítico. Um dos nossos pontos críticos é exatamente x=0! Ao dividir por x, estamos implicitamente assumindo que x ≠ 0, e isso já é um erro se o zero é uma raiz. A preservação de todas as raízes é vital para uma análise completa.
2. Sinal da Variável: Se vocês dividem por x, precisam saber se x é positivo ou negativo para saber se devem inverter o sinal da inequação ou não. E como x é a nossa variável, seu sinal muda dependendo do intervalo! Isso cria uma confusão enorme. A análise correta do sinal depende de tratarmos o x como uma variável com potencial para ser tanto positiva quanto negativa. Por isso, a regra de ouro é: SEMPRE FATORAR expressões com variáveis em ambos os lados, em vez de dividir. A fatoração, como fizemos no início, nos permite manter todos os termos importantes e analisar seus sinais de forma controlada. Fatorar é a palavra de ordem para evitar esses tropeços e garantir que a resolução seja robusta e infalível. É a forma mais segura e matematicamente correta de abordar esses problemas, e é uma habilidade que os acompanhará por toda a jornada matemática. Pensem na fatoração como uma "ferramenta universal" para lidar com expressões complexas.

Pratique, Pratique e Pratique!

Como em qualquer área da vida, a prática leva à perfeição (ou, pelo menos, a uma grande melhora!). Quanto mais exercícios de inequações vocês resolverem, mais familiarizados ficarão com os padrões, mais rápido identificarão os pontos críticos e mais confiantes se sentirão na análise de sinais. Tentem resolver variações, com > 0, >= 0, e até com outras expressões. Consistência na prática é a chave para o domínio. Se sentirem que estão "travando" em algum ponto, revisem os conceitos básicos e não hesitem em procurar por mais exemplos e explicações. A persistência é uma virtude matemática! Outra dica é tentar visualizar o problema graficamente. Para uma inequação quadrática, pense em uma parábola: se ela abre para cima (coeficiente de x² positivo), onde ela está abaixo do eixo x? Se ela abre para baixo (coeficiente de x² negativo), onde ela está acima do eixo x? Essa conexão visual pode reforçar seu entendimento e servir como uma ferramenta de checagem. A matemática é uma linguagem, e como qualquer idioma, a fluência vem com o uso constante e a experimentação. Portanto, não desistam e continuem explorando!

Por que a Matemática é Importante no Dia a Dia?

"Mas, professor, onde vou usar isso na vida?" Essa é uma pergunta clássica! E a resposta é: em muitos lugares que vocês nem imaginam! Inequações são usadas para modelar situações onde há limites ou restrições. Por exemplo, um empresário usa inequações para determinar a faixa de produção que garantirá lucro, considerando custos fixos e variáveis. Um engenheiro civil utiliza inequações para calcular a carga máxima que uma estrutura pode suportar com segurança, garantindo que a força aplicada seja sempre menor que o limite. No mundo das finanças, elas ajudam a otimizar investimentos, garantindo que o retorno seja maior que um certo percentual. Até mesmo no cotidiano, ao planejar um orçamento, vocês usam o conceito de inequação para garantir que os gastos sejam menores ou iguais à renda. A aplicação da matemática no dia a dia é vasta e fascinante, e entender esses conceitos é desenvolver um pensamento crítico e analítico que serve para resolver problemas reais em qualquer área da vida. A matemática nos dá as ferramentas para tomar decisões mais inteligentes e informadas, e isso, meus amigos, é um superpoder!

Conclusão: Dominando as Inequações de Uma Vez por Todas!

Chegamos ao fim da nossa jornada, pessoal! Espero que este guia detalhado tenha transformado a forma como vocês encaram inequações, especialmente a resolução de 100x + 150x² < 0. Vimos que, com um método claro e passo a passo, qualquer problema pode ser desmistificado. Recapitulando, os pontos-chave foram: primeiro, a simplificação e fatoração da inequação para 50x(3x + 2) < 0; segundo, a identificação dos pontos críticos (x = 0 e x = -2/3); e terceiro, a análise de sinais rigorosa em cada um dos intervalos. Através desses passos, descobrimos que a solução para a nossa inequação é -2/3 < x < 0, que corresponde à alternativa b). Lembrem-se que a matemática não é apenas sobre encontrar a resposta certa, mas sobre entender o processo e justificar cada etapa. As dicas bônus sobre a inversão do sinal e o perigo de dividir por variáveis são "armas secretas" para evitar os erros mais comuns e garantir a precisão em suas resoluções futuras. Continuem praticando, explorando e questionando, pois é assim que a gente realmente aprende e domina a matemática! Vocês têm a capacidade de resolver qualquer desafio, e com a atitude certa, a matemática se tornará uma ferramenta poderosa em suas mãos. Mandem ver, galera!