Resolva O Valor De X3: Guia De Eliminação De Gauss

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Resolva o Valor de x3: Guia Descomplicado de Eliminação de GaussVocê já se deparou com um monte de equações interligadas e pensou 'E agora, como eu resolvo isso?' Pois é, *sistemas lineares* são super comuns em matemática, ciências e até no nosso dia a dia, mesmo que a gente não perceba. Eles basicamente representam situações onde várias variáveis se relacionam, e nosso objetivo é encontrar os valores dessas variáveis que satisfazem *todas* as equações ao mesmo tempo. E quando o bicho pega, e as equações são muitas, métodos mais sofisticados são a chave! Um dos mais poderosos e elegantes é o *Método de Eliminação de Gauss*. Neste guia completo, vamos mergulhar de cabeça nesse método, com um foco especial em como aplicá-lo para *encontrar o valor de x3* em um sistema linear específico, mas as técnicas que vamos aprender são amplamente aplicáveis.A eliminação de Gauss não é só um conceito acadêmico; ela é a *espinha dorsal de muitos algoritmos* que rodam em computadores, resolvendo desde a otimização de rotas de entrega até cálculos complexos em engenharia estrutural ou modelagem financeira. Entender como ela funciona nos dá uma *super ferramenta* para desvendar problemas aparentemente complicados. Prepare-se para desmistificar os *sistemas lineares*, transformando um monte de números e letras em soluções claras e precisas. Vamos aprender a manipular equações de uma forma inteligente, passo a passo, garantindo que você não só chegue à resposta correta, mas também entenda *por que* cada etapa é importante. Nosso objetivo principal hoje é dominar a *eliminação de Gauss* e, com isso, *determinar o valor de x3* para o nosso sistema em questão, que é o grande desafio que temos pela frente. Então, bora lá desvendar esse mistério matemático!## Entendendo o Desafio: Nosso Sistema LinearAntes de *mergulharmos na solução* e começarmos a manipular os números, é fundamental que a gente entenda *exatamente qual é o problema* que temos em mãos. É como ir para uma batalha: você precisa conhecer o inimigo, certo? Nosso 'inimigo' aqui é um *sistema linear de três equações com três incógnitas*: x1, x2 e x3. Entender a estrutura e os detalhes desse sistema é o primeiro e mais crucial passo para a vitória.As equações que precisamos resolver são as seguintes, e elas são a *base de todo o nosso trabalho* com a eliminação de Gauss:1) 2x1 + 3x2 + x3 = 82) 4x1 + x2 - 2x3 = -23) -x1 + 2x2 + 3x3 = 7O que essas equações nos dizem? Basicamente, elas representam três condições que os valores de *x1, x2 e x3* precisam satisfazer *simultaneamente*. Pense nisso como três quebra-cabeças diferentes que usam as mesmas três peças (x1, x2, x3), e nosso trabalho é encontrar o formato exato dessas peças para que *todos os quebra-cabeças* se encaixem perfeitamente.O *grande objetivo* que temos em mente, e a pergunta central do nosso desafio, é: qual é o *valor de x3* que faz com que esse sistema seja verdadeiro? Parece simples, mas para chegar lá, precisamos de um método robusto como a *eliminação de Gauss*. Cada equação possui coeficientes (os números na frente das variáveis) e um termo independente (o número depois do sinal de igual). A beleza da eliminação de Gauss é que ela nos permite transformar esse sistema complexo em um formato *muito mais fácil de resolver*, passo a passo.Ao longo das próximas seções, vamos ver como a *eliminação de Gauss* nos permite transformar este conjunto de equações em uma *matriz escalonada*, que é essencialmente uma versão simplificada do problema onde a solução de *x3* (e dos outros 'x's) se torna evidente. Esteja preparado para ver como a organização e a manipulação estratégica desses números nos levarão diretamente à resposta que estamos buscando. Este é o ponto de partida, pessoal! Mantenham as equações em mente, pois elas são o nosso mapa do tesouro.## A Ferramenta Mágica: Eliminação de Gauss DesvendadaAgora que entendemos o desafio, vamos conhecer a *ferramenta que vai nos ajudar a superá-lo*: o *Método de Eliminação de Gauss*. Galera, esse método é um clássico da matemática linear por um motivo muito bom: ele é sistemático, eficiente e, o melhor de tudo, *funciona sempre* (quando a solução existe!). Mas o que diabos é a eliminação de Gauss, você pode perguntar? Basicamente, é uma forma de transformar um sistema de equações lineares em uma *matriz escalonada por linhas* (ou forma escalonada), que é muito mais simples de resolver. Pense nisso como reorganizar um armário bagunçado para que você consiga encontrar tudo rapidinho!O processo de *eliminação de Gauss* é todo sobre manipulações de equações (ou linhas de uma matriz) para *eliminar variáveis* de forma sistemática. Nossa meta é chegar a um ponto onde a última equação tenha apenas uma variável (x3, no nosso caso), a penúltima tenha duas (x2 e x3), e assim por diante. Essa estrutura triangular nos permite resolver de trás para frente, substituindo os valores encontrados.Vamos detalhar os *principais passos* que compõem o método de eliminação de Gauss. É importante entender a lógica por trás de cada um, pois eles são a base para a nossa solução:1. ***Representação em Matriz Aumentada:*** O primeiro passo é o de organização. Pegamos nosso sistema de equações e o transformamos em uma *matriz aumentada*. Isso significa que separamos os coeficientes das variáveis e os termos independentes. É como colocar todos os dados relevantes em uma planilha para facilitar a visualização e a manipulação. As linhas da matriz representam as equações, e as colunas representam os coeficientes de x1, x2, x3 e, por último, os termos independentes. Essa representação torna as operações muito mais claras e menos propensas a erros.2. ***Obter um Pivô Principal na Primeira Linha:*** O nosso objetivo é que o primeiro elemento da primeira linha (o coeficiente de x1 na primeira equação) seja um '1' (ou qualquer número diferente de zero que nos ajude a simplificar os próximos passos). Se não for, podemos dividir a linha inteira por esse número ou trocar linhas. Este é o nosso *primeiro pivô*, o ponto de partida para as eliminações. A ideia é usar este pivô para zerar os elementos abaixo dele.3. ***Eliminar os Elementos Abaixo do Pivô:*** Usando o primeiro pivô, realizamos *operações elementares entre as linhas* para fazer com que os elementos abaixo dele na primeira coluna se tornem zero. Por exemplo, se temos 2x1 na primeira equação e 4x1 na segunda, podemos fazer 'Linha 2 = Linha 2 - 2 * Linha 1'. Isso 'elimina' o x1 da segunda equação. Repetimos esse processo para todas as linhas abaixo da primeira. Este é o coração da *eliminação de Gauss*: criar zeros estrategicamente.4. ***Repetir para os Próximos Pivôs:*** Depois de limpar a primeira coluna (abaixo do pivô), movemos para a segunda linha e a segunda coluna. Encontramos nosso *segundo pivô* (o primeiro elemento não zero da segunda linha, na segunda coluna) e o usamos para zerar os elementos abaixo dele na segunda coluna. E assim sucessivamente, até chegarmos à última linha. Cada pivô nos ajuda a *isolar as variáveis* um pouco mais.5. ***Forma Escalonada por Linhas:*** O resultado final dessas manipulações é uma *matriz em forma escalonada por linhas*. Isso significa que: (a) todas as linhas com zeros estão na parte inferior; (b) o primeiro elemento não zero de cada linha (o pivô) está à direita do pivô da linha anterior; e (c) todos os elementos abaixo de um pivô são zero. Essa estrutura triangular é a 'cereja do bolo'.6. ***Retrosubstituição:*** Com a matriz escalonada, a solução é moleza! A última equação (agora super simplificada) nos dará o valor da última variável (x3). Com *x3* em mãos, substituímos seu valor na penúltima equação para encontrar *x2*. E com *x2* e *x3*, voltamos à primeira equação para encontrar *x1*. Esse processo é chamado de *retrosubstituição* e é a etapa final para desvendar todo o sistema.A beleza da *eliminação de Gauss* está na sua simplicidade e na sua capacidade de transformar um problema complicado em uma série de passos gerenciáveis. Não se preocupe se parecer muita informação agora; a prática é o que nos leva à perfeição. Na próxima seção, vamos aplicar cada um desses passos ao nosso sistema específico, e você verá como tudo se encaixa para *encontrar o valor de x3* e, de quebra, os outros também! Foco, galera!## Mãos à Obra: Resolvendo Nosso Sistema Passo a PassoChegou a hora de colocar o *método de Eliminação de Gauss* em prática, pessoal! Vamos aplicar tudo o que aprendemos ao nosso sistema linear específico para *encontrar o valor de x3*. É um processo que exige atenção aos detalhes, mas com cada passo explicado, você vai ver como é super tranquilo chegar à solução. Lembre-se, nosso objetivo é transformar aquelas três equações em uma matriz escalonada e, depois, usar a retrosubstituição.### Montando a Matriz AumentadaPrimeiro, vamos transformar nosso sistema de equações na *matriz aumentada*. Isso nos ajuda a visualizar o problema de forma mais organizada, separando os coeficientes das variáveis e os termos independentes.Nosso sistema original é:1) 2x1 + 3x2 + x3 = 82) 4x1 + x2 - 2x3 = -23) -x1 + 2x2 + 3x3 = 7A matriz aumentada será:```[ 2 3 1 | 8 ][ 4 1 -2 | -2 ][-1 2 3 | 7 ]```### Eliminando x1 (Passo 1: Criando Zeros na Primeira Coluna)Nosso primeiro objetivo é fazer com que os elementos abaixo do '2' na primeira coluna se tornem zero. Vamos usar a Linha 1 como nosso pivô para isso.1. **Operação na Linha 2 (R2):** Para eliminar o '4' na R2, faremos R2 = R2 - 2 * R1 (duas vezes a Linha 1). ``` [ 2 3 1 | 8 ] [ 4-2*2 1-2*3 -2-2*1 | -2-2*8 ] -> [ 0 -5 -4 | -18 ] [-1 2 3 | 7 ] ``` Nova matriz: ``` [ 2 3 1 | 8 ] [ 0 -5 -4 | -18 ] [-1 2 3 | 7 ] ```2. **Operação na Linha 3 (R3):** Para eliminar o '-1' na R3, faremos R3 = R3 + (1/2) * R1. Para evitar frações por enquanto, podemos multiplicar R3 por 2 primeiro e depois somar R1: R3 = 2*R3 + R1. ``` [ 2 3 1 | 8 ] [ 0 -5 -4 | -18 ] [-1*2+2 2*2+3 3*2+1 | 7*2+8 ] -> [ 0 7 7 | 22 ] ``` Nova matriz: ``` [ 2 3 1 | 8 ] [ 0 -5 -4 | -18 ] [ 0 7 7 | 22 ] ``` *Ponto importante aqui*: Evitamos frações inicialmente com 2*R3 + R1, mas agora percebemos que R3 tem coeficientes '7', '7' e '22', o que pode ser um pouco chato. Vamos continuar, mas se pudermos dividir por um número comum, faríamos. Por enquanto, a matriz está limpa na primeira coluna!### Eliminando x2 (Passo 2: Criando Zeros na Segunda Coluna)Agora, o foco é na segunda coluna. Queremos zerar o '7' abaixo do '-5' na R2. Usaremos a R2 como nosso pivô para isso. Para facilitar a eliminação e evitar frações complexas, podemos multiplicar a R3 por 5 e a R2 por 7.1. **Operação na Linha 3 (R3):** Faremos R3 = 5 * R3 + 7 * R2. ``` [ 2 3 1 | 8 ] [ 0 -5 -4 | -18 ] [ 5*0+7*0 5*7+7*(-5) 5*7+7*(-4) | 5*22+7*(-18) ] -> [ 0 0 35-28 | 110-126 ] -> [ 0 0 7 | -16 ] ``` Nova matriz (em forma escalonada por linhas!): ``` [ 2 3 1 | 8 ] [ 0 -5 -4 | -18 ] [ 0 0 7 | -16 ] ```### Encontrando x3 (Passo 3: Retrosubstituição)Com a matriz escalonada, a parte mais difícil já passou! Agora, podemos facilmente *encontrar o valor de x3* usando a última linha, depois x2 e, por fim, x1.A última linha nos dá a equação: `0*x1 + 0*x2 + 7*x3 = -16`Ou seja, `7x3 = -16`.Para *encontrar x3*, basta dividir: `x3 = -16 / 7`.Hmm, um valor fracionário! Isso é totalmente normal e válido em sistemas lineares. *Portanto, o valor de x3 é -16/7.*### Substituição Reversa (Passo Final: Encontrando x2 e x1)Embora o problema original pedisse apenas x3, vamos completar a solução para mostrar o processo inteiro, o que é ótimo para a prática e para garantir que x3 está correto.1. **Encontrando x2:** Usamos a segunda linha da matriz escalonada: `0*x1 - 5*x2 - 4*x3 = -18`. Substituímos o valor de `x3 = -16/7`: `-5x2 - 4*(-16/7) = -18` `-5x2 + 64/7 = -18` `-5x2 = -18 - 64/7` Para somar as frações, transformamos -18 em uma fração com denominador 7: `-18 = -126/7`. `-5x2 = -126/7 - 64/7` `-5x2 = -190/7` `x2 = (-190/7) / (-5)` `x2 = 190 / (7*5)` `x2 = 190 / 35` Simplificando, dividimos por 5: `x2 = 38 / 7`.2. **Encontrando x1:** Usamos a primeira linha da matriz escalonada: `2*x1 + 3*x2 + 1*x3 = 8`. Substituímos os valores de `x2 = 38/7` e `x3 = -16/7`: `2x1 + 3*(38/7) + 1*(-16/7) = 8` `2x1 + 114/7 - 16/7 = 8` `2x1 + 98/7 = 8` `2x1 + 14 = 8` `2x1 = 8 - 14` `2x1 = -6` `x1 = -6 / 2` `x1 = -3`.Então, as soluções para o sistema são: `x1 = -3`, `x2 = 38/7` e `x3 = -16/7`.Isso mostra a *elegância e eficiência* da eliminação de Gauss. A resposta para o nosso desafio de *encontrar o valor de x3* é **-16/7**. Nota: As opções A, B, C dadas no problema original sugerem uma resposta inteira. Isso indica que, ou o problema original esperava uma resposta exata dentro das opções ou houve algum detalhe nas opções que não se alinha com a solução exata que encontramos. No entanto, o método de Gauss sempre nos dará a solução correta. *Portanto, nossa solução é x3 = -16/7*. É essencial seguir os cálculos com precisão. Caso a questão esperasse um valor inteiro, ou haveria um erro nos dados ou a pergunta estava levando a uma opção mais provável em um contexto de teste, mas matematicamente, a resposta é essa.## Por Que Isso Importa? Aplicações no Mundo RealA gente acabou de suar a camisa para *resolver um sistema linear* usando a *eliminação de Gauss*, e o valor de *x3* foi encontrado! Mas você pode estar pensando: