Primitives De Fonctions: Guide Complet

Salut les matheux ! Aujourd'hui, on plonge dans le monde fascinant du calcul intégral, plus précisément, on va décortiquer comment calculer des primitives de fonctions. Les primitives, c'est un peu comme le chemin inverse de la dérivation. Si tu dérives une fonction et que tu obtiens f(x), alors la primitive de f(x) est la fonction d'origine. C'est super utile dans plein de domaines, de la physique à l'économie en passant bien sûr par les maths pures. On va s'attaquer à trois exemples concrets pour bien piger le truc : a) f(x) = (3x - 1) / (2x), b) f(x) = x cos²(x), et c) f(x) = ln(x + 1). Accrochez-vous, ça va être sportif mais surtout super enrichissant !

a) Calculer la Primitive de f(x) = (3x - 1) / (2x) : La Décomposition Astucieuse

Commençons par notre première fonction, un peu intimidante avec sa fraction : f(x) = (3x - 1) / (2x). Les gars, quand vous voyez une fraction comme ça, la première chose à faire, c'est de voir si on peut la simplifier ou la réécrire d'une manière plus digeste. Et dans ce cas précis, c'est tout à fait possible ! On peut séparer les termes du numérateur et diviser chacun par le dénominateur. Ça nous donne : f(x) = (3x / 2x) - (1 / 2x). On voit tout de suite que le 'x' dans le premier terme se simplifie, nous laissant avec f(x) = 3/2 - 1/(2x). Là, ça devient beaucoup plus simple, non ? On a maintenant deux termes bien distincts dont on connaît les primitives de base. La primitive de 3/2 (qui est une constante) est simplement (3/2)x. Pour le deuxième terme, 1/(2x), on peut sortir la constante 1/2 et se retrouver avec - (1/2) * (1/x). Et là, Ô joie !, la primitive de 1/x, c'est le logarithme népérien, ln(|x|). Donc, la primitive de f(x) = (3x - 1) / (2x) devient F(x) = (3/2)x - (1/2)ln(|x|) + C. N'oubliez jamais le '+ C', les copains ! C'est la constante d'intégration. Sans elle, votre primitive n'est pas complète, car la dérivée d'une constante est toujours zéro. C'est une petite subtilité mais elle est cruciale pour avoir la réponse exacte. Cette méthode de décomposition est super puissante et vous la retrouverez souvent quand vous aurez des polynômes divisés par des monômes. Il suffit juste d'avoir l'œil pour repérer cette simplification. La clé ici, c'est vraiment de ne pas se laisser impressionner par la forme initiale de la fonction et de chercher activement comment la transformer en quelque chose de plus facile à gérer. Pour récapituler, on a pris notre fonction f(x) = (3x - 1) / (2x), on l'a réécrite sous la forme f(x) = 3/2 - 1/(2x), puis on a intégré chaque terme séparément. La primitive de 3/2 est (3/2)x. La primitive de -1/(2x) est -(1/2)ln(|x|). En combinant le tout et en ajoutant la constante d'intégration C, on obtient notre primitive finale : F(x) = (3/2)x - (1/2)ln(|x|) + C. C'est une victoire ! Ce type de calcul montre bien qu'une bonne maîtrise des règles de base de l'algèbre peut grandement faciliter le calcul des primitives. Gardez ça en tête pour les prochains défis.

b) Calculer la Primitive de f(x) = x cos²(x) : L'Intégration par Parties et les Formules Trigonométriques

Passons maintenant à un morceau plus costaud : f(x) = x cos²(x). Là, on a un produit de deux fonctions, 'x' et 'cos²(x)'. Quand on a un produit, la technique qui vient souvent à l'esprit, c'est l'intégration par parties. Souvenez-vous de la formule : l'intégrale de u dv est uv moins l'intégrale de v du. Il faut donc choisir judicieusement notre 'u' et notre 'dv'. Pour f(x) = x cos²(x), on va poser u = x et dv = cos²(x) dx. Pourquoi ce choix ? Parce que la dérivée de 'x' est simple (du = dx), et intégrer cos²(x) peut être fait, mais c'est un peu plus délicat. On va donc devoir trouver la primitive de cos²(x). Comment faire ça, les amis ? C'est là qu'interviennent les formules trigonométriques, plus précisément la formule de l'angle double. On sait que cos(2x) = 2cos²(x) - 1. En réarrangeant cette formule, on obtient cos²(x) = (1 + cos(2x)) / 2. Ah, ça devient plus gérable ! La primitive de cos²(x) sera donc la primitive de (1/2) + (1/2)cos(2x). La primitive de 1/2 est (1/2)x. La primitive de (1/2)cos(2x) nécessite une petite substitution ou simplement de savoir que la primitive de cos(ax) est (1/a)sin(ax). Donc, la primitive de (1/2)cos(2x) est (1/2) * (1/2)sin(2x) = (1/4)sin(2x). En combinant, la primitive de cos²(x) dx est (1/2)x + (1/4)sin(2x). C'est notre 'v'. Maintenant, on a u=x, du=dx, dv=cos²(x)dx et v=(1/2)x + (1/4)sin(2x).

Appliquons la formule d'intégration par parties : ∫ u dv = uv - ∫ v du.

∫ x cos²(x) dx = x * [(1/2)x + (1/4)sin(2x)] - ∫ [(1/2)x + (1/4)sin(2x)] dx.

Simplifions le premier terme : (1/2)x² + (x/4)sin(2x).

Maintenant, il faut calculer l'intégrale restante : ∫ [(1/2)x + (1/4)sin(2x)] dx.

La primitive de (1/2)x est (1/2) * (x²/2) = x²/4.

La primitive de (1/4)sin(2x) est (1/4) * (-1/2)cos(2x) = -1/8 cos(2x).

Donc, l'intégrale restante vaut x²/4 - (1/8)cos(2x).

En combinant tout, on obtient notre primitive finale : F(x) = (1/2)x² + (x/4)sin(2x) - (x²/4 - (1/8)cos(2x)) + C.

Ce qui se simplifie en F(x) = x²/4 + (x/4)sin(2x) + (1/8)cos(2x) + C.

Voilà, les amis ! Ce calcul nous montre l'importance de maîtriser à la fois l'intégration par parties et les identités trigonométriques. C'est un peu plus technique, mais le résultat en vaut la chandelle. Le choix de 'u' et 'dv' est souvent crucial dans ce genre de situation. Si on avait choisi u = cos²(x) et dv = x dx, l'intégrale de 'v du' aurait été beaucoup plus compliquée à gérer. Donc, le réflexe à avoir quand on voit un produit, c'est de penser à l'intégration par parties et de bien choisir ses composantes pour simplifier le problème. La transformation de cos²(x) en utilisant la formule de l'angle double est une astuce indispensable qu'il faut avoir dans sa boîte à outils pour ce genre d'exercices. Sans cette transformation, intégrer cos²(x) directement serait une vraie galère. Donc, rappelez-vous : un produit peut souvent être résolu avec l'intégration par parties, et une fonction trigonométrique au carré se prête souvent à une simplification via les formules de trigonométrie. Le chemin peut sembler long, mais chaque étape nous rapproche de la solution finale. Et n'oubliez jamais le fameux '+ C' !

c) Calculer la Primitive de f(x) = ln(x + 1) : L'Intégration par Parties Encore et Toujours

Terminons en beauté avec notre troisième fonction : f(x) = ln(x + 1). Ici aussi, on est face à une fonction qui ne se laisse pas intégrer directement avec les formules de base. Le logarithme népérien, en particulier, est une fonction dont on connaît la dérivée (1/x), mais dont la primitive n'est pas évidente au premier coup d'œil. Encore une fois, l'intégration par parties va être notre meilleure alliée. Souvenez-vous, la formule : ∫ u dv = uv - ∫ v du. La question est : comment découper ln(x + 1) dx en 'u' et 'dv' ? On peut voir ln(x + 1) comme le produit de 1 et de ln(x + 1). C'est là qu'il faut être malin ! On va poser u = ln(x + 1) et dv = 1 dx. Pourquoi ce choix ? Parce que la dérivée de ln(x + 1) est simple (du = 1/(x + 1) dx), et l'intégrale de 'dv' est encore plus simple (v = x). C'est le genre de décomposition qui rend le calcul beaucoup plus abordable.

Appliquons notre formule d'intégration par parties : ∫ u dv = uv - ∫ v du.

∫ ln(x + 1) dx = ln(x + 1) * x - ∫ x * [1/(x + 1)] dx.

On réécrit le premier terme pour plus de clarté : x ln(x + 1).

Maintenant, il faut s'attaquer à l'intégrale restante : ∫ [x / (x + 1)] dx. Cette fraction, on peut la simplifier. On peut ajouter et soustraire 1 au numérateur pour faire apparaître (x + 1) : x / (x + 1) = (x + 1 - 1) / (x + 1). On sépare alors cette fraction en deux : (x + 1) / (x + 1) - 1 / (x + 1). Ça nous donne 1 - 1/(x + 1).

L'intégrale devient donc : ∫ [1 - 1/(x + 1)] dx.

C'est beaucoup plus facile ! La primitive de 1 est 'x'. La primitive de 1/(x + 1) est ln(|x + 1|).

Donc, l'intégrale restante vaut : x - ln(|x + 1|).

Maintenant, on réassemble le tout pour obtenir notre primitive finale :

F(x) = x ln(x + 1) - [x - ln(|x + 1|)] + C.

En développant et en simplifiant : F(x) = x ln(x + 1) - x + ln(|x + 1|) + C.

On peut même regrouper les termes en ln si on le souhaite, mais cette forme est tout à fait correcte. Ce qu'il faut retenir de cet exemple, c'est que l'intégration par parties est une technique fondamentale qui s'applique même quand on n'a pas un produit évident au départ. Il faut savoir