K Ve 20'nin EBOB'u 5, EKOK'u 140 Ise K Kaçtır?

Hey matematik severler, bugün sizlerle süper bir problem çözeceğiz! Karşımızda duran soru şu: K ve 20 sayılarının EBOB'u 5, EKOK'u ise 140 olarak verilmiş. Buna göre K sayısını bulmamız gerekiyor. Bu tür sorular, özellikle sınavlara hazırlanan arkadaşlarımız için oldukça önemli. Hem temel matematik bilgilerimizi tazelememize yardımcı oluyor hem de problem çözme yeteneğimizi geliştiriyor. Hazırsanız, bu gizemli K sayısını bulmak için kolları sıvayalım!

EBOB ve EKOK Nedir, Ne Değildir?

Bu probleme dalmadan önce, EBOB ve EKOK kavramlarını bir hatırlayalım, değil mi? EBOB, yani En Büyük Ortak Bölen, iki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüdür. EKOK ise, En Küçük Ortak Kat, yine iki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüdür. Bu iki kavram, sayılar teorisinin temel taşlarından. Bir sayının çarpanlarına ayırma mantığını oturtunca, EBOB ve EKOK problemleri de çorap söküğü gibi gelir. Örneğin, 12 ve 18 sayılarının EBOB'unu bulmak istesek, önce her iki sayının bölenlerini listeleriz: 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12. 18'in bölenleri: 1, 2, 3, 6, 9, 18. Ortak bölenler: 1, 2, 3, 6. Bunların en büyüğü ise 6. Yani EBOB(12, 18) = 6. Peki EKOK'u nasıl buluruz? 12'nin katları: 12, 24, 36, 48, 60, 72... 18'in katları: 18, 36, 54, 72... Ortak katlar: 36, 72... Bunların en küçüğü ise 36. Yani EKOK(12, 18) = 36. Gördüğünüz gibi mantık oldukça basit. Şimdi gelelim bizim problemimize.

K ve 20 Sayıları Arasındaki İlişkiyi Anlamak

Arkadaşlar, bize verilen bilgiler çok net: EBOB(K, 20) = 5 ve EKOK(K, 20) = 140. Bu iki bilgi, K sayısını bulmamız için bize yol gösterecek. Öncelikle, EBOB'un 5 olması demek, hem K sayısının hem de 20 sayısının 5'e tam bölünebildiği anlamına gelir. Zaten 20 sayısı 5'e bölünebiliyor, bu bir sorun teşkil etmiyor. K sayısı da 5'in bir katı olmak zorunda. Yani K'yı 5x şeklinde düşünebiliriz. Burada x, 5 ile aralarında asal olan bir sayı olmalı. Çünkü eğer x ve 5'in ortak bir böleni olsaydı, EBOB 5'ten daha büyük çıkardı. Bu önemli bir nokta, aklımızda bulunsun. Şimdi diğer bilgiye, yani EKOK'a bakalım. EKOK(K, 20) = 140. EKOK, sayıların ortak katlarının en küçüğü demekti. 140 sayısı, hem K'nın hem de 20'nin bir katı olmalı. Bu durumda, 140 sayısı 20'ye tam bölünüyor mu? Evet, 140 / 20 = 7. Bu da demek oluyor ki, 140 sayısı 20'nin bir katı. Peki K sayısı hakkında ne söyleyebiliriz? K sayısı da 140'ın bir böleni olmalı, çünkü K, 140'ın ortak katlarından biri. Ama EKOK tanımına göre, K, 140'tan küçük veya eşit olmalı.

Sayıların Özelliklerinden Yararlanarak K'yı Bulma

Şimdi arkadaşlar, matematiksel bir özelliğimiz var ki bu tür sorularda hayat kurtarıcı: İki sayının çarpımı, o sayıların EBOB'u ile EKOK'unun çarpımına eşittir. Yani, K * 20 = EBOB(K, 20) * EKOK(K, 20). Bu formülü kullanarak K sayısını kolayca bulabiliriz. Elimizdeki değerleri yerine koyalım: K * 20 = 5 * 140. Şimdi bu denklemi çözelim. Sağ tarafı çarparsak: 5 * 140 = 700. Yani denklemimiz K * 20 = 700 oldu. Şimdi K'yı bulmak için her iki tarafı 20'ye bölelim: K = 700 / 20. Bu bölme işleminin sonucu da K = 35 olarak bulunur. İşte K sayısını bulduk! Ama durun, burada bitmiyor. Bulduğumuz K değerinin verilen şartları sağlayıp sağlamadığını kontrol etmemiz gerekiyor. K = 35 ise, EBOB(35, 20) ve EKOK(35, 20) değerlerine bakalım.

K Değerini Doğrulama ve Sonuç

Arkadaşlar, K sayısını 35 olarak bulduk. Şimdi bu değeri kontrol edelim. EBOB(35, 20) kaçtır? 35'in bölenleri: 1, 5, 7, 35. 20'nin bölenleri: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Ortak bölenler: 1, 5. En büyüğü 5. Evet, EBOB(35, 20) = 5. Bu şartımız sağlandı. Harika!

Şimdi de EKOK(35, 20) kaçtır? Bunu bulmak için sayılarımızın asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanabiliriz:

• 35 = 5 * 7
• 20 = 2^2 * 5

EKOK'u bulmak için, her asal çarpanın en büyük üssünü alırız: EKOK(35, 20) = 2^2 * 5 * 7 = 4 * 5 * 7 = 20 * 7 = 140. Evet, EKOK(35, 20) = 140. Bu şartımız da sağlandı! Demek ki bulduğumuz K = 35 değeri doğrudur. Bu yöntemle, hem doğru sonuca ulaştık hem de bulduğumuz sonucun geçerliliğini kanıtladık. Matematikte kontrol her zaman en iyisidir, unutmayın!

Sonuç ve Ek İpuçları

Sonuç olarak, K ve 20 sayılarının EBOB'u 5 ve EKOK'u 140 ise, K sayısı 35'tir. Bu problem, iki sayının çarpımının EBOB ve EKOK'unun çarpımına eşit olması prensibini kullanarak ne kadar kolay çözülebildiğini gösteriyor. Bu prensip, matematikte karşınıza çıkacak birçok problemde size yardımcı olacaktır. Bir diğer ipucu da, EBOB'un mutlaka sayılardan küçük veya eşit olması, EKOK'un ise sayılardan büyük veya eşit olmasıdır. Bu bilgi de bazen şıklardan yola çıkarak doğru cevabı tahmin etmenize yardımcı olabilir. Yani eğer bir soruda EBOB, sayılardan büyük çıkıyorsa veya EKOK, sayılardan küçük çıkıyorsa, orada bir yanlışlık var demektir. Bu tür problemleri çözerken pratik yapmak çok önemli. Ne kadar çok soru çözerseniz, bu mantıklar o kadar oturur ve karşınıza çıkan yeni problemler size daha tanıdık gelir. Unutmayın, matematik sabır ve pratik işidir. Hepinize matematik dolu günler dilerim!