Encontre A Equação Da Reta Perpendicular: Guia Passo A Passo
Olá, pessoal! Vamos resolver juntos um problema de geometria analítica que pode parecer complicado à primeira vista, mas com um pouco de calma e organização, tudo se resolve. A questão que temos é a seguinte: Qual é a equação da reta que representa a rua B, que é perpendicular à rua A, cuja equação é 2x - y + 2 = 0, e que passa pelo ponto onde x = 1? As opções de resposta são:
a) y = -2x + 4 b) y = 0,5x + 1 c) y = 2x - 2 d) y = -x + 1
Para chegarmos à resposta correta, vamos seguir alguns passos importantes. Preparem seus cadernos e canetas, porque a jornada vai começar!
Entendendo o Problema e os Conceitos Fundamentais
Primeiramente, vamos entender o que o problema está pedindo. Ele nos dá a equação de uma reta (a rua A) e nos diz que a rua B é perpendicular à rua A. Além disso, sabemos que a reta B passa por um ponto específico, onde x = 1. A chave para resolver esse problema está em entender o conceito de retas perpendiculares e como suas equações se relacionam.
Duas retas são perpendiculares quando se encontram formando um ângulo de 90 graus. Uma propriedade importante das retas perpendiculares é que o produto de seus coeficientes angulares (inclinações) é igual a -1. Em outras palavras, se a inclinação de uma reta é m1 e a inclinação da reta perpendicular é m2, então m1 * m2* = -1. Vamos guardar essa informação, pois ela será crucial para resolver o problema.
Outro conceito fundamental é a forma geral da equação da reta, que pode ser escrita como y = mx + b, onde:
- y é a variável dependente.
- x é a variável independente.
- m é o coeficiente angular (inclinação da reta).
- b é o coeficiente linear (ponto onde a reta intercepta o eixo y).
Com esses conceitos em mente, podemos começar a desvendar o mistério da equação da reta B. O primeiro passo é encontrar a inclinação da reta A, que nos ajudará a determinar a inclinação da reta B.
Passo 1: Encontrando a Inclinação da Reta A
A equação da reta A é dada por 2x - y + 2 = 0. Para encontrar a inclinação dessa reta, precisamos reorganizar a equação na forma y = mx + b. Vamos isolar y:
2x - y + 2 = 0 -y = -2x - 2 y = 2x + 2
Agora, a equação da reta A está na forma y = mx + b. Podemos identificar que a inclinação (m) da reta A é 2.
Portanto, a inclinação da reta A é 2.
Passo 2: Calculando a Inclinação da Reta B
Sabemos que a reta B é perpendicular à reta A. Como mencionamos anteriormente, o produto das inclinações de duas retas perpendiculares é igual a -1. Então, se a inclinação da reta A (m1) é 2, podemos calcular a inclinação da reta B (m2) da seguinte forma:
m1 * m2 = -1 2 * m2 = -1 m2 = -1/2 = -0.5
Logo, a inclinação da reta B é -0.5 ou -1/2.
Passo 3: Determinando a Equação da Reta B
Agora que sabemos a inclinação da reta B (-0.5) e que ela passa por um ponto onde x = 1, precisamos encontrar a equação da reta. Sabemos que a equação da reta é da forma y = mx + b. Já temos o valor de m (-0.5), e precisamos encontrar o valor de b.
O problema diz que a reta B passa por um ponto onde x = 1. Mas qual é o valor de y nesse ponto? Precisamos descobrir! Vamos voltar à equação original da reta A (2x - y + 2 = 0) e usá-la para encontrar o ponto onde a reta B intercepta a reta A. Como as retas são perpendiculares, elas se encontram em um ponto. Mas a informação de x=1 nos diz o ponto onde a reta B está. Se a reta B passa em um ponto onde x=1, este ponto também pertence a reta B. Para achar o valor de y neste ponto, vamos voltar à equação da reta B, que sabemos que é da forma:
y = -0.5x + b
Como sabemos que x=1, vamos substituir na equação:
y = -0.5 * 1 + b y = -0.5 + b
Precisamos agora descobrir o valor de b, usando o fato de que a reta B é perpendicular a reta A. Já descobrimos que a inclinação da reta B é -0.5. Como a reta B passa pelo ponto onde x = 1, vamos substituir x por 1 na equação da reta B: y = -0.5x + b
y = -0.5(1) + b y = -0.5 + b
Precisamos encontrar o valor de y neste ponto. Para isso, vamos usar a informação de que a reta B é perpendicular à reta A e que a reta A é 2x - y + 2 = 0. Como a reta B passa por um ponto onde x = 1, vamos substituir x por 1 na equação da reta A:
2(1) - y + 2 = 0 2 - y + 2 = 0 4 - y = 0 y = 4
Então, a reta B passa pelo ponto (1, 4). Agora podemos substituir x e y na equação y = -0.5x + b para encontrar b:
4 = -0.5(1) + b 4 = -0.5 + b b = 4 + 0.5 b = 4.5
Agora que temos a inclinação (m = -0.5) e o coeficiente linear (b = 4.5), podemos escrever a equação da reta B:
y = -0.5x + 4.5
Agora, vamos analisar as opções para ver qual delas corresponde à nossa resposta.
Passo 4: Verificando as Opções de Resposta
Vamos comparar a equação que encontramos (y = -0.5x + 4.5) com as opções fornecidas:
a) y = -2x + 4 b) y = 0,5x + 1 c) y = 2x - 2 d) y = -x + 1
Nenhuma das opções corresponde exatamente à equação que encontramos. No entanto, percebemos que a inclinação da reta B é -0.5, que é o mesmo que -1/2. Vamos verificar qual das opções tem a inclinação correta e passa pelo ponto (1, 4).
Substituindo x = 1 nas opções, vemos que a opção (d) é a que mais se aproxima:
d) y = -x + 1 y = -1 + 1 y = 0
Essa opção não passa pelo ponto (1, 4), então precisamos revisar nossos cálculos. Percebemos que cometemos um erro ao tentar usar o ponto de interseção das retas A e B. O problema nos dá a informação de que a reta B passa por um ponto onde x = 1, mas não nos diz que esse ponto pertence à reta A. Então, para encontrar o valor de y, precisamos usar a inclinação da reta B (-0.5) e o ponto onde x = 1. A equação correta da reta B é y = -0.5x + b. Sabemos que a reta passa pelo ponto (1, y), então podemos substituir x por 1 e y por um valor desconhecido, que vamos chamar de y1:
y1 = -0.5(1) + b y1 = -0.5 + b
Precisamos descobrir o valor de b. Como sabemos que a reta B é perpendicular à reta A, podemos usar essa informação para encontrar o valor de b. A inclinação da reta B é -0.5. Então, a equação da reta B é y = -0.5x + b. Vamos analisar as opções novamente:
a) y = -2x + 4 b) y = 0,5x + 1 c) y = 2x - 2 d) y = -x + 1
Nenhuma das opções tem a inclinação correta (-0.5), mas podemos observar que a opção (b) tem a inclinação de 0.5, que é o mesmo que 1/2. Para que a reta seja perpendicular, a inclinação deve ser -1/2. Como nenhuma das opções corresponde à resposta correta, é provável que haja um erro na formulação das opções de resposta.
A resposta correta, com base nos nossos cálculos, seria uma equação com inclinação -0.5 e que passa pelo ponto onde x = 1. Como nenhuma das opções corresponde a essa equação, é provável que a questão contenha um erro.
Conclusão
Portanto, a resposta correta, baseada nos nossos cálculos, não está entre as opções fornecidas. A equação da reta B, que é perpendicular à reta A (2x - y + 2 = 0) e passa por um ponto onde x = 1, é y = -0.5x + b, onde b é um valor que não podemos determinar com as informações fornecidas.
Espero que este guia tenha sido útil! Se tiverem alguma dúvida, é só perguntar. Continuem praticando e explorando o mundo da geometria analítica! Até a próxima, pessoal!