Encontrando A Interseção De Curvas: 2x + 3y + 1 = 0 E (y - 1)² = X + 3

E aí, galera da matemática! Hoje vamos desvendar um mistério geométrico: encontrar o ponto onde duas curvas, definidas por equações bem distintas, se cruzam. A primeira é uma reta clássica, a 2x + 3y + 1 = 0, e a segunda é uma parábola, dada por x + 3 = (y - 1)². Parece complicado? Que nada! Com um pouco de raciocínio e álgebra, vamos achar essa interseção e entender o processo todo. Se liga só!

Preparando o Terreno: Entendendo as Equações

Antes de mergulharmos de cabeça na resolução, vamos dar uma olhada nas equações que temos em mãos. A primeira, 2x + 3y + 1 = 0, é a equação de uma reta. A gente pode até reescrevê-la para isolar o 'y' e ter a forma reduzida (y = mx + b), o que nos dá uma ideia clara de sua inclinação e onde ela cruza o eixo y. Isolando o 'y', temos: 3y = -2x - 1, então y = (-2/3)x - 1/3. Isso nos diz que a reta tem um coeficiente angular de -2/3 e intercepta o eixo y em -1/3. Bem tranquilo, né?

Já a segunda equação, x + 3 = (y - 1)², descreve uma parábola. A forma como ela está escrita já nos dá pistas importantes. O termo (y - 1)² indica que o eixo de simetria da parábola é vertical, e o '-1' dentro do parêntese mostra que esse eixo está deslocado para cima em uma unidade (y=1). Além disso, o '+3' no lado esquerdo, quando isolamos o 'x', nos diz que o vértice da parábola está em x = -3. Ou seja, o vértice é o ponto (-3, 1). A parábola se abre para a direita, pois o termo ao quadrado está com 'y' e o 'x' está isolado com um coeficiente positivo. Compreender essas características iniciais ajuda bastante a visualizar o que estamos procurando: um ou mais pontos que satisfazem ambas as equações simultaneamente. São os pontos onde essas duas formas geométricas se encontram no plano cartesiano.

A Caça aos Pontos de Interseção: O Confronto das Equações

O ponto de interseção, galera, é basicamente um ponto (x, y) que pertence às duas curvas ao mesmo tempo. Isso significa que as coordenadas desse ponto (x e y) precisam satisfazer ambas as equações. Para encontrar esses pontos, a gente usa um truque de mágica da matemática: substituição ou eliminação. No nosso caso, a substituição parece ser o caminho mais direto e eficiente. Já temos o 'x' quase isolado na equação da parábola: x = (y - 1)² - 3. Vamos pegar essa expressão para o 'x' e substituir ela lá na equação da reta, onde aparece o 'x'. Isso vai nos dar uma nova equação que terá apenas a variável 'y', e aí fica moleza achar o valor (ou valores) de 'y' que funcionam.

Vamos lá! A reta é 2x + 3y + 1 = 0. Substituindo o 'x' que encontramos na parábola, ficamos com: 2 * [ (y - 1)² - 3 ] + 3y + 1 = 0. Agora, é só alegria e álgebra! Vamos expandir e simplificar essa belezinha. Primeiro, o (y - 1)²: isso é y² - 2y + 1. Então a equação vira: 2 * [ y² - 2y + 1 - 3 ] + 3y + 1 = 0. Simplificando o que está dentro dos colchetes: y² - 2y - 2. Agora, multiplicamos por 2: 2(y² - 2y - 2) = 2y² - 4y - 4. Substituindo de volta na equação principal: (2y² - 4y - 4) + 3y + 1 = 0. Juntando os termos semelhantes: 2y² + (-4y + 3y) + (-4 + 1) = 0. Isso nos leva à equação quadrática 2y² - y - 3 = 0. Essa é a equação que vai nos dar os valores de 'y' nos pontos de interseção. Encontrar as raízes dessa quadrática é o próximo passo crucial. Podemos usar a fórmula de Bhaskara ou fatoração para achar esses valores de 'y'. Cada valor de 'y' que encontrarmos poderá ser substituído de volta em uma das equações originais (preferencialmente a mais simples, a da reta) para encontrar o 'x' correspondente, formando assim os pares ordenados (x, y) que são os nossos pontos de interseção.

Desvendando os Valores de 'y': A Fórmula de Bhaskara em Ação

Agora que chegamos à nossa equação quadrática 2y² - y - 3 = 0, é hora de resolver para 'y'. Essa é uma equação do tipo ay² + by + c = 0, onde, no nosso caso, a = 2, b = -1, e c = -3. Para encontrar as raízes (os valores de 'y'), vamos usar a famosa e confiável fórmula de Bhaskara: y = rac{-b eq ho}{2a}.

Primeiro, vamos calcular o discriminante, que é o delta ($ho$): $ho = b^2 - 4ac$. Substituindo os valores: $ho = (-1)^2 - 4 * (2) * (-3)$. Calculando: $ho = 1 - 8 * (-3) = 1 + 24 = 25$. Como o discriminante ($ho$) é positivo (25 > 0), sabemos que teremos duas raízes reais e distintas para 'y'. Isso significa que nossas curvas se intersectam em dois pontos diferentes. Que demais!

Agora, aplicamos a fórmula completa de Bhaskara: y = rac{-(-1) eq ho}{2 * 2}. Substituindo o valor de $ho$: y = rac{1 eq 5}{4}.

Isso nos dá duas possibilidades para 'y':

1. y₁ = (1 + 5) / 4 = 6 / 4 = 3/2
2. y₂ = (1 - 5) / 4 = -4 / 4 = -1

Encontramos os dois valores de 'y' que fazem parte das coordenadas dos pontos de interseção! Agora, o próximo passo é usar esses valores de 'y' para encontrar os 'x' correspondentes e assim formar os pares ordenados completos. Para isso, podemos usar a equação da reta, que é mais simples, ou a da parábola. Vamos escolher a da reta para facilitar: 2x + 3y + 1 = 0. A partir dela, podemos isolar o 'x': 2x = -3y - 1, ou seja, x = (-3y - 1) / 2. Agora é só substituir cada 'y' que encontramos!

Calculando os Pontos de Interseção: Os Pares (x, y) Finais

Com os valores de 'y' em mãos (y₁ = 3/2 e y₂ = -1), vamos calcular os 'x' correspondentes para formar os pontos de interseção. Vamos usar a relação que encontramos a partir da equação da reta: x = (-3y - 1) / 2.

Para y₁ = 3/2: Substituímos 3/2 na fórmula do 'x': x₁ = (-3 * (3/2) - 1) / 2 x₁ = (-9/2 - 1) / 2 Para subtrair 1 de -9/2, transformamos 1 em 2/2: -9/2 - 2/2 = -11/2. Então, x₁ = (-11/2) / 2 x₁ = -11/4 Portanto, um dos pontos de interseção é (-11/4, 3/2).

Para y₂ = -1: Substituímos -1 na fórmula do 'x': x₂ = (-3 * (-1) - 1) / 2 x₂ = (3 - 1) / 2 x₂ = 2 / 2 x₂ = 1 Portanto, o outro ponto de interseção é (1, -1).

Assim, encontramos os dois pontos onde a reta 2x + 3y + 1 = 0 e a parábola x + 3 = (y - 1)² se cruzam: (-11/4, 3/2) e (1, -1). Se analisarmos as alternativas fornecidas no problema original, vemos que nenhuma delas corresponde exatamente a ambos os pontos que encontramos. Isso pode indicar que talvez a pergunta original esperasse apenas um dos pontos, ou que houve um erro nas alternativas. No entanto, vamos verificar se algum dos pontos listados nas alternativas aparece como um dos nossos resultados. Percebemos que o ponto (1, -1) não está listado, mas vamos conferir novamente os cálculos.

Revisão dos cálculos: Ao substituir y = -1 na equação da reta 2x + 3y + 1 = 0, obtemos 2x + 3(-1) + 1 = 0 => 2x - 3 + 1 = 0 => 2x - 2 = 0 => 2x = 2 => x = 1. Isso nos dá o ponto (1, -1). Agora, vamos verificar se (1, -1) satisfaz a equação da parábola: x + 3 = (y - 1)². Substituindo: 1 + 3 = (-1 - 1)². 4 = (-2)². 4 = 4. Sim, o ponto (1, -1) satisfaz ambas as equações!

Porém, vamos olhar as alternativas de novo: 1. (0, -1), 2. (1, 0), 3. (-1, 0), 4. (2, 1). Nenhuma delas é (1, -1). Vamos verificar o outro ponto que encontramos: (-11/4, 3/2). Este ponto também não está nas alternativas. Isso é um pouco estranho.

Vamos considerar a possibilidade de ter havido um erro na minha transcrição ou nos cálculos. Vou refazer a resolução focando em verificar se algum dos pontos das alternativas poderia ser a resposta correta. Por exemplo, vamos testar o ponto (1, 0) (Alternativa 2).

Para a reta 2x + 3y + 1 = 0: 2(1) + 3(0) + 1 = 2 + 0 + 1 = 3. Isso não é igual a 0. Então, (1, 0) não está na reta.

Vamos testar o ponto (-1, 0) (Alternativa 3). Para a reta 2x + 3y + 1 = 0: 2(-1) + 3(0) + 1 = -2 + 0 + 1 = -1. Isso não é igual a 0. Então, (-1, 0) não está na reta.

Vamos testar o ponto (0, -1) (Alternativa 1). Para a reta 2x + 3y + 1 = 0: 2(0) + 3(-1) + 1 = 0 - 3 + 1 = -2. Isso não é igual a 0. Então, (0, -1) não está na reta.

Vamos testar o ponto (2, 1) (Alternativa 4). Para a reta 2x + 3y + 1 = 0: 2(2) + 3(1) + 1 = 4 + 3 + 1 = 8. Isso não é igual a 0. Então, (2, 1) não está na reta.

É possível que eu tenha interpretado mal as alternativas ou que as alternativas fornecidas não correspondam às equações dadas. No entanto, o processo de encontrar os pontos de interseção envolve resolver o sistema de equações. Minha derivação levou aos pontos (-11/4, 3/2) e (1, -1).

Vamos reexaminar cuidadosamente a substituição e a resolução da quadrática, pois é a etapa mais propensa a erros.

Equação da reta: 2x + 3y + 1 = 0 ightarrow x = rac{-3y-1}{2} Equação da parábola: $x + 3 = (y-1)^2 ightarrow x = (y-1)^2 - 3$

Igualando as expressões para x: rac{-3y-1}{2} = (y-1)^2 - 3 $-3y-1 = 2[(y-1)^2 - 3]$ $-3y-1 = 2[y^2 - 2y + 1 - 3]$ $-3y-1 = 2[y^2 - 2y - 2]$ $-3y-1 = 2y^2 - 4y - 4$

Rearranjando para formar uma quadrática em y: $0 = 2y^2 - 4y + 3y - 4 + 1$ $0 = 2y^2 - y - 3$

Esta é exatamente a mesma quadrática que obtivemos antes: $2y^2 - y - 3 = 0$. As raízes são $y = 3/2$ e $y = -1$. O cálculo do discriminante $ho = 25$ e as raízes y = rac{1 eq 5}{4} estão corretos.

E os valores de x correspondentes são: Para $y = 3/2$: x = rac{-3(3/2)-1}{2} = rac{-9/2 - 2/2}{2} = rac{-11/2}{2} = -11/4. Ponto: $(-11/4, 3/2)$. Para $y = -1$: x = rac{-3(-1)-1}{2} = rac{3-1}{2} = rac{2}{2} = 1. Ponto: $(1, -1)$.

Meus cálculos parecem consistentes. A questão é que nenhum dos pontos listados nas alternativas corresponde exatamente a esses resultados. Isso pode indicar um problema com as alternativas fornecidas na questão original.

No entanto, se formos forçados a escolher a