Anagramas Da Palavra AMARELA: Descubra A Resposta Certa!

E aí, galera da matemática! Bora desvendar um enigma numérico que vai turbinar o seu raciocínio? Hoje, vamos mergulhar no fascinante mundo dos anagramas, mais especificamente, vamos descobrir quantos anagramas podemos formar a partir das letras da palavra AMARELA. Essa é uma daquelas questões que adoram aparecer em provas e vestibulares, e a gente vai te mostrar o caminho das pedras para acertar sem medo de errar. Preparem-se para uma jornada de pura lógica e combinatória!

Desvendando o Mistério: O que são Anagramas e Como Contar?

Primeiramente, vamos entender o que diabos são anagramas. Basicamente, anagramas são novas palavras ou sequências de letras formadas pela reorganização das letras de uma palavra original. O truque aqui é que todas as letras da palavra original devem ser usadas, e cada letra deve aparecer o mesmo número de vezes. Pense nisso como embaralhar as letras para criar novas 'combinações'. Para a palavra AMARELA, estamos falando de rearranjar as letras A, M, A, R, E, L, A.

Agora, a parte crucial: como calcular o número total de anagramas possíveis? Quando todas as letras de uma palavra são distintas, é super simples. Se você tem uma palavra com 'n' letras únicas, o número de anagramas é simplesmente 'n!' (n fatorial). Por exemplo, a palavra 'SOL' tem 3 letras distintas, então temos 3! = 3 * 2 * 1 = 6 anagramas possíveis (SOL, SLO, OSL, OLS, LSO, LOS).

Mas e quando a palavra tem letras repetidas, como a nossa querida AMARELA? Ah, aí a coisa muda de figura, e é exatamente por isso que essa questão é tão interessante! A palavra AMARELA tem 7 letras no total. Se todas fossem únicas, teríamos 7! anagramas. No entanto, percebam que a letra 'A' aparece três vezes. Essa repetição faz com que algumas das combinações pareçam iguais se a gente simplesmente calcular o fatorial total.

Para corrigir essa contagem e não contar combinações repetidas como únicas, usamos uma fórmula especial para permutações com repetição. A fórmula mágica é:

$$\text{Número de Anagramas} = \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \dots \times n_k!}$$

Onde:

• n é o número total de letras na palavra.
• n1, n2, ..., nk são as contagens de cada letra que se repete.

Vamos aplicar isso à palavra AMARELA. Temos n = 7 letras no total. A letra 'A' se repete n1 = 3 vezes. As outras letras (M, R, E, L) aparecem apenas uma vez, então seus fatoriais seriam 1!, que não alteram o resultado da divisão.

Portanto, a conta que precisamos fazer é:

$$\text{Número de Anagramas de AMARELA} = \frac{7!}{3!}$$

Parece simples, né? Mas vamos com calma, porque os detalhes fazem toda a diferença!

Calculando o Fatorial e Chegando à Resposta Correta

Continuando nossa jornada para encontrar quantos anagramas podemos formar a partir das letras da palavra AMARELA, vamos colocar a mão na massa e calcular os fatoriais. Lembrem-se, o fatorial de um número é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a esse número. Ou seja, n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1.

Primeiro, vamos calcular o 7!:

$$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$$

Vamos fazer essa conta passo a passo para não ter erro:

• 7 * 6 = 42
• 42 * 5 = 210
• 210 * 4 = 840
• 840 * 3 = 2520
• 2520 * 2 = 5040
• 5040 * 1 = 5040

Então, 7! = 5040. Esse seria o número de anagramas se todas as letras fossem únicas. Mas, como vimos, a letra 'A' se repete 3 vezes.

Agora, precisamos calcular o 3!:

$$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$

Com esses valores em mãos, podemos finalmente aplicar a fórmula de permutações com repetição que discutimos:

$$\text{Número de Anagramas de AMARELA} = \frac{7!}{3!} = \frac{5040}{6}$$

E agora, a divisão final!

$$5040 \div 6 = 840$$

E aí está, galera! O número total de anagramas únicos que podemos formar com as letras da palavra AMARELA é 840.

Analisando as Alternativas e Confirmando a Resposta

Agora que chegamos ao nosso resultado de 840 anagramas para a palavra AMARELA, vamos dar uma olhada nas alternativas que nos foram dadas para confirmar nossa resposta:

(A) 920 (B) 750 (C) 980 (D) 100 (E) 840

Batemos o olho e vemos que a nossa resposta, 840, é exatamente a alternativa (E). Missão cumprida! A gente desvendou o enigma e provou que, com um pouco de conhecimento de combinatória e atenção aos detalhes, qualquer problema de anagrama pode ser resolvido.

É muito importante entender o porquê da fórmula com repetição. Se a gente não dividisse pelo 3!, estaríamos contando cada conjunto de anagramas que diferem apenas na troca das letras 'A' repetidas como se fossem únicos. Por exemplo, se imaginarmos as letras 'A' como A1, A2, A3, teríamos sequências como A1 M A2 R E L A3 e A2 M A1 R E L A3. Sem a divisão, essas duas seriam contadas separadamente. Mas, como são todas 'A's, elas na verdade formam o mesmo anagrama. A divisão por 3! (que é 6) é exatamente o que remove essas contagens duplicadas que surgem por causa das letras repetidas.

Sempre que você se deparar com um problema de contagem de anagramas, o primeiro passo é contar o número total de letras e depois identificar quantas vezes cada letra se repete. Com essas informações, a aplicação da fórmula de permutações com repetição fica direta. Lembrem-se: n no numerador (fatorial do total de letras) e os fatoriais das contagens das letras repetidas no denominador. É uma ferramenta super poderosa para resolver uma gama de problemas de combinatória!

Continuem praticando, resolvendo mais exercícios e explorando outros exemplos. A matemática da contagem é linda e muito útil, e dominar esses conceitos vai abrir muitas portas, não só na escola, mas em diversas áreas que exigem pensamento lógico e resolução de problemas. E o mais legal é que, depois de entender a lógica por trás, fica até divertido encarar esses desafios! Fiquem ligados para mais dicas e desvendamentos matemáticos!